初始状态下，所有的 Q 值都设置为为零。随着 Agent 与环境互动并获得反馈，算法会反复改进这些 Q 值，直到它们收敛到最优 Q 值。算法利用贝尔曼方程对其进行更新。

以一个简单的游戏为例。设想一个3x3的网格，玩家从“Start”方格出发，目标是到达“Goal”方格，到达后将获得5分 Reward。某些方格是安全的，某些则有危险，相应的 Reward 分别为 0 分和 -10分。在任何一个方格中，玩家可以选择“上下左右”四个方向移动。

此游戏共有 9 个不同的位置状态，因为玩家可以位于网格的任意一个方格中；游戏中又有四种可能的移动方向。因此-可以构建了一个 9 行 4 列的 Q 表。

现在我们可以使用Q表来查询任何位置和动作组合的Q值。如上所述，初始状态下，将所有的 Q 值都设置为 0。在特定的单元格，比如 ((2, 2), up)，这个单元格说对应的值就是位置 (2, 2) 和动作‘up’的 Q 值（或状态-动作值）。

四、Q-Learning 算法整体流程

正如我们之前看到的， Agent 通过学习每个状态-动作对的最优 Q 值来确定最优策略。

1-最优Q值（也称为最优动作价值函数）是指对于给定状态 ? 和动作 ?，能够获得的最大预期总回报的估计。最优 Q 值表明了智能体在遵循最优策略时，从当前状态 ? 开始并选择动作 ?，随后持续采取最优动作所能达到的最高期望效用。

2-之所以称之为“最优”Q值，是因为它基于最优策略的假设：智能体在每个后续状态中都能采取最佳动作。这是一个理想状态，实际中智能体需要通过学习和逐步逼近这些最优值。

3-最优 Q 值为最优策略的形成提供了直接的基础。如果已经知道了每个状态-动作对的最优 Q 值，那么最优策略可以通过以下方式简单确定：

4-在给定的状态 ? 下，选择能够产生最高 Q 值的动作 a，并将这样的选择应用于所有状态，形成的动作集合确实构成了最优策略。

最初，Agent 会随机选择动作。但通过与环境的交互，它会根据获得的 Reward 来学习哪些动作更好。它利用这些经验逐步更新 Q 值。

此过程与我们在上一篇文章中探讨的流程非常类似，因此不必重复解释。

Q-Learning算法的主要特点在其如何更新估计值。第四步中更新估计值的的方程基于贝尔曼方程，实际上采用了我们之前研究过的公式的一个略有不同的变体。

接下来，我们将深入探讨这一更新过程及其数学原理。

在算法的第 2 步，Agent 利用 ε-贪婪策略 从当前状态 (S1) 选择一个动作 (a1)。这个动作被传递给环境执行，Agent 随后会收到一个Reward (R1) 和下一个状态 (S2) 的反馈。

接下来，在第四步，算法需要使用来自下一个状态的Q值来更新当前状态和选定动作的Q值 (Q1)。

这里展示了Q-Learning算法的一个特别之处。下一个状态中有多个可选动作，算法应该选用哪个动作呢？它选择了下一个状态中 Q 值最高的动作 (a4)。需要明确的是，这个动作只用于更新 Q1，并不意味着它一定会在下一个时间步骤中执行这个动作。

确定了目标 Q 值之后，算法会使用更新公式，利用 Reward 和目标 Q 值计算当前 Q 值的新值，并更新当前Q值。

计算当前 Q 值的新值：

更新当前的 Q 值：

简而言之，这里涉及到两个动作：

当前动作（Current action） —— 实际在环境中执行的当前状态的动作，其 Q 值将更新。

目标动作（Target Action）—— 来自下一个状态的最高Q值的动作，这个动作的 Q 值用于更新当前动作的Q值。

这种双重动作是 Q-Learning 的特点：

这听起来可稍显复杂，继续观察下一个时间步发生的情况。

现在下一个状态已经变成了新的当前状态。Agent 再次利用ε-贪婪策略选择动作。

如果Agent倾向于探索而非利用，它执行的动作（a2）将与之前时间步骤中用于更新Q值的目标动作（a4）不同，而是选择了 a2 动作。

这种方式被称为“离线策略（off-policy）”学习，因为实际执行的动作与用于学习的目标动作不同。

行为策略（behavior policy）是 Agent 在与环境互动时实际遵循的策略。这个策略决定了 Agent 在每个状态下选择哪个动作来执行。行为策略一般包含探索成分，如ε-贪婪策略。目标策略（Target Policy）是 Agent 希望建立和学习的策略，这是 Agent 认为最优的策略，能够在每个状态下选择最大化预期回报的动作。

离线策略（off-policy）算法表示行为策略和目标策略是同一个策略；在线策略（on-policy）算法表示行为策略和目标策略不是同一个策略。

游戏开始时，Agent并不清楚哪些动作优于其他动作。因此，我们最初将Q表的所有值设为0。

随后，算法采用ε-贪婪策略选择一个动作，从环境获取反馈，并使用以下公式更新Q值。这个新的 Q 值反映了我们观察到的 Reward。

以这样的方式，Q表中的一个单元格开始从无到有，开始填充环境提供的实际数据。

我们的目标是使 Q 值逐渐接近其理论最优值。我们已经看到 Q 值开始有所填充，但关键在于，这些更新是否随机还是趋向于更高的准确性？

七、为何估值会随时间提高其准确性？（第一部分）

若认真思考，Q-Learning 算法能够收敛至最优值确实有点儿令人难以置信。

从任意的初始估计开始，然后在每一个时间步，你都会用新的估计来更新之前的估计。

为什么这样做最终能得到更准确的结果呢？

原因在于，每隔一个时间步长，估算值都会根据实际观测结果进行更新，从而变得更加精确。

更新公式结合了三个因素，按一定的权重比例计算：

更新公式中的三个项中有两个是估计值，起初并不十分准确。我们稍后再讨论这两个项。

但对于第一项，即获得的 Reward 是具体数据。这样，Agent 就能根据环境的实际经验来学习和改进自己的估计。

Q 值通过真实 Reward 进行更新

为了更直观地理解这一点，让我们通过一个例子，关注 Q 表中的一个特定单元（即一个状态-动作对），并观察该单元更新过程的演变。看其随时间变化，状态 S3 和动作 a1（对应橙色单元）的 Q 值会发生什么。

第一次访问这个单元时，它的 Q 值是0。我们使用更新公式，并以我们观察到的Reward（R1）为基础来更新这个单元。

现在，当我们再次访问这个状态-动作对时，情况如何呢？（可能发生在同一个回合中或未来的回合中。）

这次我们可以看到，表中其他一些 Q 值也填充了数值。随着 Agent 遵循不同路径并开始访问状态-动作对，那些原本为空的单元被填充了数据。

此外，每次 Reward（即使是同一状态下的同一动作）都可能不同。这种变化反映了环境的动态性和不同情境下的结果差异。

我们再次访问那个单元格。需要注意，目标动作（在图中以紫色表示）在我们三次访问中可以不同。

让我们将对这一单元的所有访问放在一张图中，以便可以直观地看到随时间的推移而发生的变化。随着我们在多个回合中多次访问这一状态-动作对，我们每次都会收集到 Reward。尽管单次 Reward 的数值可能有波动，但随着时间的推移，这些Reward会逐渐稳定于它们的期望值。这也使得Q值随时间趋于稳定。

再回顾一下Q 值（或状态-动作值）的含义。它表示从某一特定状态开始采取特定动作，然后按照策略行动直至回合结束，并计算此过程的总回报。如果你多次重复此过程，经过多个回合，你得到的平均回报就是Q值。

我们已经观察到，随着多次迭代，Reward 项趋向于它的平均或预期值。

但是，更新公式中的其他两个估计项怎么办呢？虽然这些估计最初非常不精确，但随着时间的推移，它们也通过实际观测得到更新，因此精确度也在不断提高。

以一个回合中最后两个时间步为例，当到达终点状态时可以看到，Q 值准确性如何仅基于 Reward 项数据更新得到提升，而不依赖于任何估计值。随后，这个 Q 值的准确性的提高将向前一个Q值扩散，并且如此反复，逐步增强沿路径上的 Q 值的准确性。

在回合结束时，我们会关注终止时 Q 值（蓝色单元）和终止前 Q 值（绿色单元）的更新情况。

假设在第一回合结束时，在（T-1）时间步，Agent 采取了一个动作。基于所选择的目标动作，终止前的Q值得到了更新。

简便起见，使用 Q2 和 Q6 代替 Q(2, 2) 和 Q(6, 4)

下一个时间步是第 1 回合的最后一个时间步。在 T 时间步骤中，Agent 选择一个动作到达了终止状态。

由于下一个状态是终止状态，不存在目标动作。因此，更新公式中的“max”项为0。这意味着终止Q值的更新完全基于实际的Reward数据，不依赖于任何估计值。这将提高终止时 Q 值的准确性。本回合到此结束。

每当我们在后续回合中再次访问终止前的状态时，比如在第二回合的（T-1）时间步，终止前Q值会根据目标动作进行更新，就像之前一样。

更新公式中的“max”项对应于终止Q值。因此，当更新发生时，就像终止Q值向终止前Q值回溯传递一样。

让我们将这三个时间步骤展示在同一张图上，以便直观地观察随时间的演进。我们已经看到终止Q值（蓝色单元）是根据实际数据更新的，而不是估计。我们也注意到这个终止Q值向终止前Q值（绿色单元）逐渐渗透。

因此，随着终止Q值准确性的逐步提升，终止前Q值也逐渐变得更加准确。

接下来，这些Q值会逐步回溯到（T-2）时间步等更早的步骤。

这样，随着估算的 Q 值沿着插曲的路径“涓涓细流”般进行回流，两个估算的 Q 值项也以实际观测为基础，准确性不断提高。

随着越来越多回合进行，Q表估计变得越来越精确。

执行的迭代次数越多，更精确的Q值就会逐渐传递到路径上更远的单元。随着每个单元接受更多的更新，其Q值也变得越来越精确。

随着进行越来越多的回合，Q表中的值经历了多次更新。

Q值收敛到最优值

我们已经看到 Q 值正在变得更加精确。但我们真正需要的是那些最优值（Optimal Values）。我们如何知道我们正在接近这一目标呢？

在第一篇文章中，我们了解到状态-动作值总是基于某种策略。Q-Learning算法隐式地采用ε-贪婪策略来计算它的Q值。

这种策略鼓励Agent尽可能地探索更多的状态和动作。它进行的迭代次数越多，探索的路径越广，我们就越有理由相信它已经尝试了所有可能的选项以寻找更优的Q值。

这就是ε-贪婪策略最终能找到最优Q值的两个理由。虽然这些理解还是非正式的，但我们可以更正式的数学证明中获得一些安慰！

每进行一次迭代，Q值就会有所改善 如果你进行了足够多的迭代，你将会评估所有可能的选项，而且你不会再找到更好的Q值。随着每次更新，Q值逐渐变得更精确，越来越接近最优值。

虽然这不是一个严格的证明，但希望这能让你对Q-Learning如何工作以及为何它会收敛有一个直观的理解。

在下一篇文章中，我们将开始探讨强化学习中更为有趣的部分，开启我们对深度Q网络的研究之旅。

总结：尝试用最简单的语言概括 Q-Learning