原文：https://zhuanlan.zhihu.com/p/657886517

浮点数据类型在IEEE 754-2019(2008)^[1]标准中进行了详细的定义，定义了不同精度的浮点数格式，如binary16、binary32和binary64，分别用16位、32位和64位二进制来表示，想要更全方位深入的了解的话，可以点引用查看官方的paper。下面进行一些常用的浮点数介绍。

FP16

FP16也叫做 float16，两种叫法是完全一样的，全称是Half-precision floating-point(半精度浮点数)，在IEEE 754标准中是叫做binary16，简单来说是用16位二进制来表示的浮点数，来看一下是怎么表示的(以下图都来源于维基百科^[2])：

其中：

Sign(符号位): 1 位，0表示整数；1表示负数。

Fraction(尾数位)：10位，简单地来说就是表示小数部分，存储的尾数位数为10位，但其隐含了首位的1，实际的尾数精度为11位，这里的隐含位可能有点难以理解，简单通俗来说，假设尾数部分为1001000000，为默认在其前面加一个1，最后变成1.1001000000然后换成10进制就是:

# 第一种计算方式
1.1001000000 = 1 * 2^0 + 1 * 2^(-1) + 0 * 2^(-2) + 0 * 2^(-3) + 1 * 2^(-4) + 0 * 2^(-5) + 0 * 2^(-6) + 0 * 2^(-7) + 0 * 2^(-8) + 0 * 2^(-9) = 1.5625
# 第二种计算方式
1.1001000000 = 1 + 576(1001000000变成10进制)/1024 = 1.5625

所以正常情况下计算公式就是：

同样，这个是FP16(float16)能表示的最大的负数：

这就是FP16(float16)表示的范围[-65504，65504]。

我们就不一一的计算了，贴一个FP16(float16)特殊数值的情况：

上表中，subnormal number是指指数位为全0的特殊情况情况，其他的也是一些常见的特殊情况。

接下来看一下在pytorch中是如何表示的：

torch.finfo(torch.float16)
# 结果
finfo(resolution=0.001, min=-65504, max=65504, eps=0.000976562, smallest_normal=6.10352e-05, tiny=6.10352e-05, dtype=float16)

一些解释：

1. resolution（分辨率）：这个浮点数类型的在十进制上的分辨率，表示两个不同值之间的最小间隔。对于 torch.float16，分辨率是 0.001，就是说两个不同的 torch.float16 数值之间的最小间隔是 0.001。

2. min（最小值）：对于 torch.float16，最小值是 -65504。

3. max（最大值）：对于 torch.float16，最大值是 65504。

4. eps（机器精度）：机器精度表示在给定数据类型下，比 1 大的最小浮点数，对于 torch.float16，机器精度是 0.000976562，对应上表中的smallest number larger than one。

5. smallest_normal（最小正规数）：最小正规数是大于零的最小浮点数，对于 torch.float16，最小正规数是 6.10352e-05，对应上表中的smallest positive normal number

6. tiny（最小非零数）：最小非零数是大于零的最小浮点数，对于 torch.float16，最小非零数也是 6.10352e-05，也是对应上表中的smallest positive normal number

这里要详细的解释一下resolution（分辨率），这个是我们以十进制来说的两个数之间的最小间隔，我们看一个例子就会明白：

import torch

# 把10进制数转化为 torch.float16
num = 3.141
num_fp16 = torch.tensor(num).half()
print(num_fp16)
# 结果
tensor(3.1406, dtype=torch.float16)

num = 3.1415
num_fp16 = torch.tensor(num).half()
print(num_fp16)
# 结果
tensor(3.1406, dtype=torch.float16)
# 可以看到3.141和3.1415间隔只有0.0005，所以在float16下结果是一样的

num = 3.142
num_fp16 = torch.tensor(num).half()
print(num_fp16)
# 结果
tensor(3.1426, dtype=torch.float16)
# 可以看到结果不一样了

从上面代码可以看到，十进制中相隔0.001，在float16中才会有变化，这个时候会有一个疑问，难道精度只有小数点后三位？那怎么之前见了很多参数都是有很多小数点的？那我们来看一下全过程，把float16变成2进制，再把2进制变成16进制：

import struct
def float16_to_bin(num):
# 将float16数打包为2字节16位，使用struct.pack
packed_num = struct.pack('e', num)

# 解包打包后的字节以获取整数表示
int_value = struct.unpack('H', packed_num)[0]

# 将整数表示转换为二进制
binary_representation = bin(int_value)[2:].zfill(16)
return binary_representation

num = 3.141
num_fp16 = torch.tensor(num).half()
print(num_fp16)
binary_representation = float16_to_bin(num_fp16)
print(binary_representation)# 打印二进制表示

# 结果
tensor(3.1406, dtype=torch.float16)
0100001001001000


num = 3.1415
num_fp16 = torch.tensor(num).half()
binary_representation = float16_to_bin(num_fp16)
print(binary_representation)# 打印二进制表示

# 结果
tensor(3.1406, dtype=torch.float16)
0100001001001000# 还是一样的结果

num = 3.142
num_fp16 = torch.tensor(num).half()
print(num_fp16)
binary_representation = float16_to_bin(num_fp16)
print(binary_representation)# 打印二进制表示

# 结果
tensor(3.1426, dtype=torch.float16)
0100001001001001# 不一样了

再看一下把2进制变成16进制：

def binary_to_float16(binary_string):
# 检查输入是否是有效的16位二进制字符串
if len(binary_string) != 16:
raise ValueError("输入的二进制字符串必须是16位长")

# 提取组成部分：符号、指数、尾数
sign = int(binary_string[0])# 符号位
exponent = int(binary_string[1:6], 2)# 指数位
mantissa = int(binary_string[6:], 2) / 1024.0# 尾数位，除以2的10次方（即1024）以获得10位精度

# 根据符号、指数和尾数计算float16值
value = (-1) ** sign * (1 + mantissa) * 2 ** (exponent - 15)
return value

# 10进制3.141对应float16：3.1406
binary_representation = "0100001001001000"
# 将二进制表示转换为float16
float16_value = binary_to_float16(binary_representation)
print("通过2进制转化后Float16值:", float16_value)
# 结果：
通过2进制转化后Float16值: 3.140625

# 10进制3.1415对应float16：3.1406
binary_representation = "0100001001001000"
# 将二进制表示转换为float16
float16_value = binary_to_float16(binary_representation)
print("通过2进制转化后Float16值:", float16_value)
# 结果：
通过2进制转化后Float16值: 3.140625

# 10进制3.142对应float16：3.1426
binary_representation = "0100001001001001"
# 将二进制表示转换为float16
float16_value = binary_to_float16(binary_representation)
print("通过2进制转化后Float16值:", float16_value)
# 结果：
通过2进制转化后Float16值: 3.142578125

因为在计算机中是以2进制存储计算的，所以转换后的float16值会有很多位小数，但这些后面的小数是没有精度的，换成10进制的精度是只有0.001的。注：在-1~1之间精度是0.0001，因为有隐含位1的关系，大家可以试一下。

BF16

BF16也叫做bfloat16(这是最常叫法)，其实叫“BF16”不知道是否准确，全称brain floating point，也是用16位二进制来表示的，是由Google Brain开发的，所以这个brain应该是Google Brain的第二个单词。和上述FP16不一样的地方就是指数位和尾数位不一样，看图：

• Sign(符号位): 1 位，0表示整数；1表示负数

• Exponent(指数位)：8位，表示整数部分，偏置值是 127

• Fraction(尾数位)：7位，表示小数部分，也是隐含了首位的1，实际的尾数精度为8位

计算公式：

这里要注意一下，并不是所有的硬件都支持bfloat16，因为它是一个比较新的数据类型，在 NVIDIA GPU 上，只有 Ampere 架构以及之后的GPU 才支持，如何判断呢？很简单：

import transformers
transformers.utils.import_utils.is_torch_bf16_gpu_available()
# 结果为True就是支持

看一下在pytorch中是如何表示的：

import torch
torch.finfo(torch.bfloat16)
# 结果
finfo(resolution=0.01, min=-3.38953e+38, max=3.38953e+38, eps=0.0078125, smallest_normal=1.17549e-38, tiny=1.17549e-38, dtype=bfloat16)

这个结果就不在赘述了，每个字段表示的含义和上述的是一致的，主要注意的是bfloat16的10进制间隔精度是0.01（注：在-1~1之间精度是0.001），表示范围是[-3.40282e+38，3.40282e+38]。可以明显的看到bfloat16比float16精度降低了，但是表示的范围更大了，能够有效的防止在训练过程中的溢出。有兴趣的同学可以用上述代码实验一下bfloat16~

FP32

FP32也叫做 float32，两种叫法是完全一样的，全称是Single-precision floating-point(单精度浮点数)，在IEEE 754标准中是叫做binary32，简单来说是用32位二进制来表示的浮点数，看图：

• Sign(符号位): 1 位，0表示整数；1表示负数

• Exponent(指数位)：8位，表示整数部分，偏置值是 127

• Fraction(尾数位)：23位，表示小数部分，也是隐含了首位的1，实际的尾数精度为24位

计算公式:

看一下在pytorch中是如何表示的：

import torch
torch.finfo(torch.float32)
# 结果
finfo(resolution=1e-06, min=-3.40282e+38, max=3.40282e+38, eps=1.19209e-07, smallest_normal=1.17549e-38, tiny=1.17549e-38, dtype=float32)

这个结果也不在赘述了，每个字段表示的含义和上述的是一致的，主要注意的是float32的10进制间隔精度是0.000001（注：在-1~1之间精度是0.0000001），表示范围是[-3.40282e+38，3.40282e+38]。可以看到float32精度又高，范围又大，可是32位的大小对于现在大模型时代的参数量太占空间了。

以上就是对常见FP16，FP32，BF16精度的浮点数的一点介绍，后续会围绕：1.大模型中不同精度占用的显存大小？2.大模型中不同精度之间如何转换？3.模型训练中的混合精度是什么？等问题，有时间再写一篇文章~